Cas de deux vecteurs colinéaires

Propriété

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls du plan.

• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires de même sens, alors \(\boxed{\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \Vert\times \lVert \vec{v} \Vert}\).
  
• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires de sens contraire, alors \(\boxed{\vec{u} \cdot{} \vec{v}=-\lVert \vec{u} \Vert\times \lVert \vec{v} \Vert}\).
  

Démonstration

Comme \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs non nuls, il existe \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) trois points distincts du plan tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{\text{AC}}\).

• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires et de même sens, alors \((\overrightarrow{\text{AB}}\,;\overrightarrow{\text{AC}})=0\) et \(\cos(0)=1\). Par définition du produit scalaire,  \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \Vert\times \lVert \vec{v} \Vert \times \cos(0)=\lVert \vec{u} \Vert\times \lVert \vec{v} \Vert\).
  
• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires et de sens contraire, alors \((\overrightarrow{\text{AB}}\,;\overrightarrow{\text{AC}})=\pi\) et \(\cos(\pi)=-1\). Par définition du produit scalaire,  \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \Vert\times \lVert \vec{v} \Vert\times \cos(\pi)=-\lVert \vec{u} \Vert\times \lVert \vec{v} \Vert\).
  

Remarque

Dans le cas particulier où \(\vec{u}=\vec{v}\) (cas où les vecteurs sont colinéaires et de même sens), on a \(\vec{u} \cdot{} \vec{u}=\lVert \vec{u} \Vert\times \lVert \vec{u} \Vert =\lVert \vec{u} \Vert ^2\).
Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot{} \vec{u}\) se note \(\vec{u}^2\), et on parle du carré scalaire de \(\vec{u}\).
Ainsi, on a \(\boxed{\vec{u}^2=\vec{u} \cdot{} \vec{u}=\lVert \vec{u} \Vert ^2}\).

Exemple

Sur la figure ci-dessous, les points \(\text{R}\), \(\text{S}\) et \(\text{T}\) appartiennent à la droite graduée \((\text{OI})\).
On a \(\text{OI}=1\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{RS}}\) et \(\overrightarrow{\text{RT}}\) étant colinéaires et de même sens : 
\(\overrightarrow{\text{RS}} \cdot \overrightarrow{\text{RT}}=\Vert \overrightarrow{\text{RS}} \Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{RT}} \Vert=5 \times 7=35\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{SR}}\) et \(\overrightarrow{\text{ST}}\) étant colinéaires et de sens contraire : 
\(\overrightarrow{\text{SR}} \cdot \overrightarrow{\text{ST}}=\color{red}{-}\Vert \overrightarrow{\text{SR}} \Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{ST}} \Vert=\color{red}{-}5 \times 2=\color{red}{-}10\).